Cálculo digerible y masticable: DICIEMBRE

MÁXIMOS Y MÍNIMOS O PUNTOS EXTREMOS

Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.

La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones

f_x(x,y) = 0

f_y(x,y) = 0.

-Criterio de segunda derivada para funciones de dos variables

Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, f_x(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, f_xy es igual a f_yx. Sea

H = f_xx(a, b)f_y_y(a, b) -[f_xy(a, b)]².

Entonces

f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y f_xx(a,b) > 0,

f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y f_xx(a,b) < 0, y

f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0.

Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.

*MÁXIMOS O MÍNIMOS CONDICIONADOS

Un problema condicionado de optimización Tiene la forma:

Maximiza (o minimiza) f(x, y,. . . ) sujeta a restricciones.

Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primero despejar una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que el dominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera.

- Multiplicadores de Lagrange
Para localizar los candidatos a extremos relativos de una función f(x, y, . . .) sujeta a la restricción g(x, y, ...) = 0, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para obtener x, y, ... y λ:

f_x = λg_x

f_y = λg_y

...

g = 0

El incógnita λ se llama un multiplicador de Lagrange. Los puntos (x, y, . . .) que se ocurren in las soluciones son los candidatos a los extremos relativos de la función f sujeta a g = 0.

REFERENCIAS:

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#maxmin

Calculo en varias variables, James Stewart, Sexta edición.

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INTEGRALES MÚLTIPLES

Haciendo un pequeño análisis, al igual que en las integrales de una sola variable, la integral múltiple sirve para superficies o curvas cerrradas. Como se sabe las integrales ya sean simples, dobles, triples, etc, siempre parten de la sumas de Rieman.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES.

Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son útiles en los cálculos y en las aplicaciones.

Cuando la integral sea sobre un área rectangular no existe problemas en definir los límites respecto a dx o dy, esto solo en el caso que la región sea rectangular.

Cuando no se trata de una integral en área rectangular uno de los límites debe ser fijo mientras el otro debe ser una función de una variable. Algo asi como derivadas parciales aqui también se toma constante a todo termino que no pertenezca al diferencial.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES ACOTADAS

NO RECTANGULARES.

Para definir la integral doble de una función f(x, y) sobre una región acotada no rectangular, imaginamos de nuevo R cubierta por una retícula rectangular, pero incluimos en la suma parcial sólo las pequeñas piezas de área "A = "x"y que se encuentran totalmente dentro de la región. Numeramos las piezas en algún orden, escogemos un punto arbitrario (xk, yk) en cada "Ak y formamos la suma

La única diferencia entre esta suma y la de la ecuación (1) para regiones rectangulares es que ahora las áreas "Ak pueden dejar de cubrir toda R. Pero conforme la red se vuelve más fina y el número de términos en Sn aumenta, más de R queda incluida. Si f es continua y la frontera de R está hecha de las gráficas de un número finito de funciones continuas de xy/o de y, unidas extremo con extremo, entonces las sumas Sn tendrán un límite cuando las normas de las subdivisiones que definen la malla rectangular tiendan independientemente a cero. Llamamos al límite integral doble de f sobre R.

Este límite también puede existir en circunstancias menos restrictivas.

Las integrales dobles de funciones continuas sobre regiones no rectangulares tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales sobre regiones rectangulares. La propiedad de aditividad de dominio correspondiente a la propiedad 5 dice que si R se descompone en regiones no traslapadas R1 y R2 con fronteras que están nuevamente hechas de un número finito de segmentos de rectas o curvas, entonces

Si R es una región limitada “arriba” y “abajo” por las curvas y=g2(x) y y=g1(x) y lateralmente por las rectas x=a, x=b, nuevamente podemos calcular el volumen por el método de rebanadas. Primero determinamos el área de la sección transversal

Y luego integramos A(x) de x=a a x=b para obtener el volumen como una integral iterada:

(8).De manera similar, si R es una región, limitada por las curvas x=h2 (y) y x=h1 (y) y las rectas y=c y y=d, entonces el volumen calculado por el método de rebanadas está dado por la integral iterada

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.

Usamos integrales triples para hallar los volúmenes de formas

tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos y los valores

promedio de funciones de tres variables.

INTEGRALES TRIPLES.

Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en

el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o

una masa de arcilla, entonces la integral de F sobre D puede

definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región

rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos

paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran

dentro de D de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán

entonces dimensiones "xk por "yk por "zk y volumen "x"xk.

Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la

suma

Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de

superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces

cuando "xk, "yk, "zk tienden a cero independientemente, las

sumas Sn tenderán a un límite

Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite

también existe par algunas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.

Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas

que las integrales simples y dobles. Si F=F(x, y, z) y G=G(x, y,

z) son continuas, entonces

Si el dominio D de una función continua F se subdivide por medio

de superficies suaves en números finito de celda sin traslapes D1,

D2,…..Dn, entonces

INTEGRALES TRIPLES EN

COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

COORDENADAS CILÍNDRICAS.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros

cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o

bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

Plano que contiene al eje z

z= 2 Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es

COORDENADAS ESFÉRICAS.

Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro

en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos

simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo

largo del eje z.

Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado

constante: