NOVIEMBRE

CLASES DE CURVATURAS

CURVATURA DE FLEXIÓN

Definición.- Se llama curvatura de Γ en p = α(s) al escalar 

k(s) = dT /ds = ||α ′′(s)|| 

Nota.- Teniendo en cuenta que  
T(t) = γ ′ (t) ||γ ′(t)||    y que k(s) = dT/ ds , se tiene que dT /ds = dT /dt · dt ds (TFInversa, t−1 = s−1 ′ = 1 s′ ) = dT/ dt · 1   ds /dt / ds/ dt = ||γ ′ (t)|| = dT dt · 1 ||γ ′(t)|| 

Entonces la curvatura en el punto p es
 k(t) = dT/ dt · 1 ||γ ′(t)|| 

Cuanto más rápido varía la tangente más grande será la curvatura, entonces Si k = 0 entonces Γ es una recta. Si k 6= 0 entonces Γ se curva y al valor ρ = 1/k se le denomina radio de curvatura. 



CURVATURA DE TORSIÓN

Definición.- Se llama torsión de Γ en p = α(s) al escalar

τ (s) = − (dB /ds) (s) · N(s) 

donde el punto denota producto escalar de vectores. 

La torsión en un punto P se da de la siguiente forma:

τ (t) = (− 1/ ||γ ′ (t)||)( dB/ dt (t) · N(t))

Nota.- Una curva es plana si y solo si su torsi´on es 0 en todo punto 




CURVATURA DE FLEXIÓN O LLAMADA SOLAMENTE CURVATURA.

La curvatura de torsión es algo que se aplica bastante en el tema de cuerpos con constantes de recuperación o deformación elástica, por ejemplo existen ciertos aparatos que se usan para determinar el período de ciertos cuerpos cuando giran o su torque, estos cuerpos poseen constantes de torsión, y asu ves curvatura de torsión.


FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES

Descripción: 
Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable múltiple) es una aplicación que representamos por f:A⊆Rn---->R(x1,x2,...,xn)---->z=f(x1,x2,...,xn), donde el conjunto A⊆Rn se llama dominio de f, se representa por A=Dom(f)=Domf.
El dominio de f, es el conjunto de los elementos de Rn que tienen imagen mediante f, es decir:  A=Domf={(x1,x2,...,xn)∈Rn/∃f(x1,x2,...,xn)}
Llamamos imagen de la función f al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa porIm(f).

Im(f)={z∈R/∃(x1,x2,...,xn)∈A⊆Rnverificandoz=f(x1,x2,...,xn)}


EJEMPLO DE FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.


NOTA: A pesar que una función pueda ser dependiente de una, dos, tres o n variables, gráficamente solo se puede representar hasta R3, ya que de R4 en adelante no tiene una representación física.


CURVAS O SUPERFICIES DE NIVEL 

El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:



Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel 

Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas topográficos o planos de configuración.
En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante). 

UNO DE LOS USOS Y APLICACIONES DE LAS CURVAS DE NIVEL.


-ALGUNAS DE LAS CURVAS DE NIVEL MÁS USADAS




- ALGUNAS DE LAS SUPERFICIES DE NIVEL MÁS USADAS






LÍMITES Y CONTINUIDAD


- La definición de límite es análoga a la del caso real y la generaliza. Dada una función vectorial, $f\colon I\to \mathbb{R}^m$, $a\in I\subset \mathbb{R}$ un punto de acumulación (es decir, que hay puntos del dominio tan cerca de $a$ como queramos), y $v\in\mathbb{R}^m$, decimos que $v$ es el límite de $f$ cuando $t$ tiende a $a$, ${\displaystyle \lim_{t\to a}f(t)=v }$, si ocurre que 
\begin{displaymath}\forall \epsilon >0, \exists \delta >0\mbox{ tal que } \mid \mid f(t)-v \mid \mid <\epsilon\mbox{ si }0< \mid t-a \mid <\delta\end{displaymath}

Como la norma en el caso $\mathbb{R}^m=\mathbb{R}$ coincide con el valor absoluto, esta definición generaliza a la que conocemos de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.


- La continuidad se define como en el caso de una variable. Si $a$ es del dominio de $f$, $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$, $f$ se dice que es continua en $x=a$ si ocurre que existe ${\displaystyle \lim_{t\to a}f(t) }$ y coincide con $f(a)$, 
\begin{displaymath}\lim_{t\to a}f(t)=f(a)\end{displaymath}

Como nos podemos reducir a las funciones componentes, resulta que $f$ es continua en $a$ si y solo si cada función componente $f_i$ es continua en $a$. 
\begin{displaymath}f(a)=(f_1(a),f_2(a),\cdots ,f_m(a))\in \mathbb{R}^m\end{displaymath}


\begin{displaymath}\lim_{t\to a}f(t)=f(a)\iff \lim_{t\to a}f_i(t)=f_i(a) ,\quad i=1,2,\cdots , m\end{displaymath}


TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

Como hemos observado si sabemos calcular límites de campos escalares podemos calcular todos los tipos de límites que pueden aparecer al trabajar con funciones de varias variables. Veamos algunas técnicas que podemos usar. Todas ellas estan basadas de una u otra forma en las que conocemos para funciones de una variable. La principal diferencia está en el hecho de que con varias variables tenemos muchas formas de acercarnos a un punto, mientras que con una bastaba saber lo que pasaba a derecha e izquierda.
Para ilustrar como podemos utilizar técnicas de una variable recordemos que una función $f$ tiene límite $l$ cuando $x$ tiende a $a$ si y solo si para cualquier sucesión $x_n$ (de puntos del dominio de$f$) que tiende a $a$ se verifica que la sucesión de sus imágenes, $f(x_n)$, tiende a $l$

\begin{displaymath}\lim_{x\to a}f(x)=l\iff \forall x_n \to a \Rightarrow f(x_n)\to l\end{displaymath}


Esto nos permite decir por ejemplo que la función seno no tiene límite en infinito, esto es, no existe ${\displaystyle \lim_{x\to \infty} \mbox{ sen }x }$, ya que podemos encontrar sucesiones $x_n$, $y_n$ que tienden a $\infty$ y tales que sus imágenes tienen límites distintos. Por ejemplo

\begin{displaymath}x_0=0, x_1=2\pi , x_2=4\pi , x_3=6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}




\begin{displaymath}y_0=\frac{\pi}{2}, y_1=\frac{\pi}{2}+2\pi , y_2=\frac{\pi}{2}+4\pi , y_3=\frac{\pi}{2}+6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}




\begin{displaymath}\mbox{ sen }(x_n)=0\Rightarrow \mbox{ sen }(x_n)\to 0 , \quad \mbox{ sen }(y_n)=1\Rightarrow sen (y_n)\to 1\end{displaymath}


Pues bien el mismo resultado sigue siendo cierto para campos escalares solo que ahora la sucesión es de vectores de $\mathbb{R}^n$. Si nos fijamos en el campo escalar

\begin{displaymath}f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}


nos podríamos preguntar por el límite de $f$ en el punto $(1,2)$

\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}


Si consideramos sucesiones genéricas de vectores $(x_n,y_n)\to (1,2)$ esto es equivalente a considerar sucesiones $x_n\to 1$, $y_n\to 2$ Entonces aplicando propiedades de límites de sucesiones

\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\frac{1\cdot 2^2}{1^2+2^2}=\frac{4}{5}\end{displaymath}


Es claro que la misma idea sirve para cualquier punto $(a,b)$, que no sea conflictivo ya que la simple sustitución nos da el valor del límite (es decir la función es continua en esos puntos)

\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (a,b)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\frac{ab^2}{a^2+b^2}\end{displaymath}


Pero ¿qué pasa en el punto conflictivo? En este caso el punto conflictivo es $(0,0)$. No podemos sustituir simplemente porque la función no está definida en ese punto.Si tratamos de hacer igual que antes nos encontramos con una indeterminacion del tipo $(0/0)$. Sean sucesiones genéricas $x_n\to 0$, $y_n\to 0$

\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\mbox{?}\end{displaymath}


Si podemos resolver la indeterminación encontraríamos el límite. Si por el contrario podemos encontrar dos sucesiones de vectores $(x_n,y_n)$, $(z_n, t_n)$ tendiendo a $(0,0)$ y tales que las imágenes por $f$ de alguna de ellas no tenga límite, o bien que $f(x_n,y_n)$ y $f(z_n, t_n)$ tengan límites distintos, entonces no existiría el limite en $(x,y)=(0,0)$ de $f$. ¿Qué pasa en este caso?


Operaciones algebraicas

A veces una simple manipulación algebraica nos puede ayudar a resolver el cálculo de un límite.

\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,-1)}\frac{x^2-y^2}{x+y}=\left (\frac{0}{0}\right )=\lim_{(x,y)\to (1,-1)} x-y=2\end{displaymath}


Acotación entre funciones con igual límite

Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ "cerca de $a$" y 
\begin{displaymath}\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)= l\mbox{, , entonces }\lim_{x\to a}g(x)= l\end{displaymath}

En particular
(función acotada)$\cdot$(función que tiende a cero)=(función que tiende a cero)
Por ejemplo 
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}(2x-y) \mbox{ sen }\frac{y}{x-1}=0\end{displaymath}

En el ejemplo con el que empezabamos esta sección se tiene

\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim_{(x,y)\to (0,0)} x \frac{y^2}{x^2+y^2}=0\end{displaymath}





DERIVADAS PARCIALES

- Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independienteal siguiente límite, si existe y es finito:
calculado suponiendoconstante.
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito:
calculado suponiendoconstante.
Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando.


DERIVADA DE UN FUNCIÓN IMPLÍCITA

- La derivada de la función implícitadefinida mediante la ecuación  puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:
, siempre que 
Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.
Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables definida mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas:
; , siempre que 
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuacióndefine una función explícita en un entorno decon
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno de dicho punto.


DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

- Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.
Se usan las siguientes notaciones:
; 
;
(se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función)
Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.
Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.
Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro).
Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total:
Análogamente se define la diferencial de tercer orden.
Se siguen unas reglas parecidas a las potencias:


REGLA DE LA CADENA 

- UNA VARIABLE DEPENDIENTE


Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de un parámetro t y ambas tienen derivadas respecto de t. Entonces z=F(x(t),y(t)) es una función compuesta. Un cambio en t afectará a las variables x e y, por lo tanto se producirá un cambio en z. Es razonable preguntarse por la razón de cambio de z respecto a t. Esta derivada puede obtenerse:

dz dt = ∂ z ∂ x  .  dx dt + ∂ z ∂ y  .  dy dt





- DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de dos parámetros, s y t, existiendo también sus derivadas parciales respecto a estas variables. Entonces z=F(x(t,s),y(t,s)) es derivable parcialmente y se cumple:

∂z ∂s = ∂z ∂x ⋅ ∂x ∂s + ∂z ∂y ⋅ ∂y ∂s ∂z ∂t = ∂z ∂x ⋅ ∂x ∂t + ∂z ∂y ⋅ ∂y ∂





VECTOR GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL



Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).
Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:









FUENTES

http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/derivadas/nivel3/teoria/derivadas8.htm

 http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/derivadas/nivel3/teoria/derivadas12.htm

 http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3_3.html


































 

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Entradas (Atom)